南京大学固体微结构物理国家重点实验室、现代工程与应用科学学院、人工微结构科学与技术协同创新中心的何程、陈延峰研究团队，在理论上设计和实验研制出三维声拓扑绝缘体，观测到了其中无能隙的二维狄拉克型表面色散和无能隙的一维拓扑棱态。该工作揭示出拓扑声子在三维微结构材料中边界局域的、单向的和无反射损耗的传播特性，为利用人工设计的对称性和三维声子晶体研制拓扑声学和自旋声学器件发展了新的原理。相关工作以"Acoustic analogues of three-dimensional topological insulators"为题于2020年5月9日在线发表在期刊《Nature Communications》（《自然·通讯》）杂志上。(https://www.nature.com/articles/s41467-020-16131-w )
图1.三维体能带中的狄拉克点和具有鲁棒特性的无能隙二维表面态、一维棱态。
信息处理和存储技术的发展对集成器件的性能提出了更高的要求。在传统的集成器件中，由于加工过程中不可避免的缺陷和杂质，使得波在传输过程中存在着背向散射损耗，因而降低了器件的传输距离和效率。拓扑材料以其独特的缺陷免疫和背散射抑制特性为克服这一困难提供了方案。拓扑物理的研究始于电子系统，而近十余年来，研究人员将其推广到了光、声、机械等经典波领域，并且成功实现了多种类型的光/声拓扑态。比如背散射抑制和抗辐射损耗的光/声波导，任意形状的高效率、低阈值的拓扑激光等等。最近，三维声/光拓扑绝缘体备受关注。相比于二维系统，三维系统多出了一个空间自由度，具有更多的结构类型和对称操作可供选择与调控。此外，根据拓扑材料"体-边对应关系"，在三维拓扑绝缘体中，不仅可以得到拓扑保护的二维表面态（一阶声拓扑绝缘体），用于实现一些如折射、成像等一维波导无法实现的拓扑现象和功能；也可以得到更低维度的一维棱态（二阶）和零维角态（三阶）。这为多维度调控声波传播提供了新的可能（如图1所示）。
研究团队在前期二维声拓扑绝缘体取得突破后[Nat. Phys. 12, 1124 (2016)]，一直致力于三维声拓扑绝缘体的设计和研制。然而，实现三维声拓扑绝缘体的条件甚为苛刻，需要同时满足以下三个条件：1）在三维构建声人工自旋；2）破缺对称性以形成三维全带隙；3）改变层间和面内"原子"间的耦合以实现能带反转。前期的研究表明，仅通过二维结构的堆叠而构建三维拓扑声子晶体，可实现一些其它类型的三维声拓扑材料[Nat. Commun. 9, 4555 (2018)；Phys. Rev. Lett. 123, 195503 (2019)]，却很难同时满足上述三个条件，得到具有完全线性（狄拉克锥形）表面色散的三维声拓扑绝缘体。经过三年多的努力，研究团队摸索了一条"提高对称性—破缺对称性—再提高—再破缺"的设计方案和技术路线，精准地控制三维声拓扑能带结构，从而取得了突破。
图2. 沿z的能带折叠和打开。（a）从左到右：单层三维手性螺旋结构，双层，破缺螺旋对称的双层结构。（b）对应的能带结构。其中，两个相反外尔点折叠成四重狄拉克点，狄拉克点破缺形成三维拓扑全带隙。
在这个工作中，利用z方向布里渊区折叠机制，将由单层手性结构元胞构成的三维声子晶体[点式空间群No.168 (P6)]扩展为双层元胞[非点式空间群No.173(P63)]，构建了一个额外的螺旋对称操作。此时，体能带中两个拓扑荷相反的外尔点将折成一个四重简并的三维狄拉克点。之后，通过调节层间耦合破坏半周期的平移对称和螺旋对称，可以打开简并形成三维拓扑全带隙[变回No.168 (P6)空间群]（如图2所示）。因此，在这类材料的界面上（xy或yz平面），可以得到无能隙的二维拓扑表面态。为了精细研究声拓扑态，还发展了三维声场扫描技术，在xy平面测得了无能隙的二维声表面狄拉克锥（如图3所示）。
图3.三维声拓扑绝缘体中的二维无能隙表面态。(a-b）计算得到的在xy面（001）表面狄拉克锥。（c）实验测量结果。（d-e）yz面（100）计算得到的表面狄拉克锥。
值得注意的是，由于该系统保持了时间反演对称性，所以在xy投影面有两个表面狄拉克锥，分别位于K点和K’点。因此，可利用三倍超元胞结构（图4），通过xy平面内的能带折叠机制，将这两个表面狄拉克锥折叠到Γ点形成四重简并的声表面态。再通过调节元胞内耦合和元胞间的耦合强度，使得表面态能带发生反转，从而打开二维拓扑表面态能隙，实现了一维无能隙的拓扑棱态，即三维二阶声拓扑绝缘体。在理论方面，通过多种理论方法分析了声三维体能带与二维拓扑表面态和一维拓扑棱态的"体-面-棱"拓扑对应关系。研究发现，由于与电子系统具有内禀自旋不同，声的1/2自旋是人工设计的对称性构造的，因此，声拓扑边界态与边界状况有关。实验上测量的沿x方向一维棱稳定传输的声透射谱（图5）显示，只有在上表面存在沿x方向的无能隙的一维拓扑棱态。
图4.xy平面能带折叠与反转：（a）中：三倍初基元胞；左：增大边上孔径；右：增大中间孔径。（b）声表面态能带反转：从左到右展示了平庸到非平庸的拓扑转变，转变点为简并的声表面态狄拉克点。
图5.三维二阶声拓扑绝缘体。（a）左：x方向无能隙棱态计算结果；右：测量结果。（b）布里渊区沿z的第一次投影和在x/y向的第二次投影。（c）声透射谱测量结果。其中，紫红/红对应非平庸/平庸的xy方向表面态，绿/蓝对应上/下表面的x向棱态。（d）声压分布模拟。（e）出射面的声压分布测量结果。
这个工作的重要意义在于：1）首次实现了三维声拓扑绝缘体以及高阶声拓扑绝缘体，进一步展示了微结构声子晶体可为研究和探索玻色系统中新型拓扑物态提供一个方便和可控的材料系统，同时发展了声学拓扑材料的范围和声操控的维度，可应用于声传播调控和隔声降噪等领域；2）声拓扑绝缘体的设计采用对称性重构和破缺的方式，这种方式也适用于其它超构材料系统中；3）基于三维手性晶格对称性构建了人工声自旋，可用于实现空气声的类磁响应。
这一工作是集模型设计—理论分析—材料制备—声场测量几个方面紧密结合的结果。现代工程与应用科学学院的何程、硕士生赖华山、何博为论文的共同第一作者；何程和陈延峰是论文的共同通讯作者；余思远，许相园，卢明辉对本文亦有重要贡献。该工作得到了科技部国家重点研发计划、国家自然科学基金等项目的支持。
（现代工程与应用科学学院/材料科学与工程系科学技术处）